二叉查找树详解

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发布时间：2019-06-19

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转自：伯乐在线http://blog.jobbole.com/79305/

一定义

　　二叉查找树（Binary Search Tree），也称有序二叉树（ordered binary tree）,排序二叉树（sorted binary tree），是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树：

　　1. 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

　　2. 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

　　3. 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。

　　4. 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。

　　如下图，这个是普通的二叉树：

　　在此基础上，加上节点之间的大小关系，就是二叉查找树：

二实现

　　在实现中，我们需要定义一个内部类Node，它包含两个分别指向左右节点的Node，一个用于排序的Key，以及该节点包含的值Value，还有一个记录该节点及所有子节点个数的值Number。

private static class BinaryNode
     
       {	T data;	BinaryNode
      
        left;	BinaryNode
       
         right;	public BinaryNode(T data) {		this(data, null, null);	}	public BinaryNode(T data, BinaryNode
        
          left, BinaryNode
         
           right) {		this.data = data;		this.left = left;		this.right = right;	}}

查找

　　查找操作和二分查找类似，将key和节点的key比较，如果小于，那么就在Left Node节点查找,如果大于，则在Right Node节点查找，如果相等，直接返回Value。

　　该方法实现有迭代和递归两种。递归的方式实现如下：

public boolean contains(T data) {	return contains(data, root);}private boolean contains(T data, BinaryNode
     
       node) {	if (node == null) {		return false;	}	int compareResult = data.compareTo(node.data);	if (compareResult < 0) {		return contains(data, node.left);	} else if (compareResult > 0) {		return contains(data, node.right);	} else {		return true;	}}

插入

　　插入和查找类似，首先查找有没有和key相同的，如果有，更新；如果没有找到，那么创建新的节点。并更新每个节点的Number值，代码实现如下：

public void insert(T data) {	root = insert(data, root);}private BinaryNode
     
       insert(T data, BinaryNode
      
        node) {	if(node==null){		return new BinaryNode(data, null, null);	}	int compareResult=data.compareTo(node.data);	if(compareResult<0)		node.left=insert(data, node.left);	else if(compareResult>0)		node.right=insert(data,node.right);	else		;	return node;}

　　插入操作图示如下：

　　下面是插入动画效果：

　　随机插入形成树的动画如下，可以看到，插入的时候树还是能够保持近似平衡状态：

最大最小值

　　如下图可以看出，二叉查找树的最大最小值是有规律的：

　　从图中可以看出，二叉查找树中，最左和最右节点即为最小值和最大值，所以我们只需迭代调用即可。

public T findMin() throws Exception {	if (isEmpty())		throw new Exception();	return findMin(root).data;}public T findMax() throws Exception {	if (isEmpty())		throw new Exception();	return findMax(root).data;}private BinaryNode
     
       findMin(BinaryNode
      
        node) {	if (node == null)		return null;	else if (node.left == null)		return node;	else		return findMin(node.left);	}private BinaryNode
       
         findMax(BinaryNode
        
          node) {	if (node != null) {		while (node.right != null) {			node = node.right;		}	}	return node;}

Floor和Ceiling

　　查找Floor(key)的值就是所有<=key的最大值，相反查找Ceiling的值就是所有>=key的最小值，下图是Floor函数的查找示意图：

　　以查找Floor为例，我们首先将key和root元素比较，如果key比root的key小，则floor值一定在左子树上；如果比root的 key大，则有可能在右子树上，当且仅当其右子树有一个节点的key值要小于等于该key；如果和root的key相等，则floor值就是key。根据以上分析，Floor方法的代码如下，Ceiling方法的代码类似，只需要把符号换一下即可：

public TKey Floor(TKey key) { Node x = Floor(root, key); if (x != null) return x.Key; else return default(TKey); } private Node Floor(Node x, TKey key) { if (x == null) return null; int cmp = key.CompareTo(x.Key); if (cmp == 0) return x; if (cmp < 0) return Floor(x.Left, key); else { Node right = Floor(x.Right, key); if (right == null) return x; else return right; }

public TKey Floor(TKey key)

{

Node x = Floor(root, key);

if (x != null) return x.Key;

else return default(TKey);

}

private Node Floor(Node x, TKey key)

{

if (x == null) return null;

int cmp = key.CompareTo(x.Key);

if (cmp == 0) return x;

if (cmp < 0) return Floor(x.Left, key);

else

{

Node right = Floor(x.Right, key);

if (right == null) return x;

else return right;

}

删除

　　删除元素操作在二叉树的操作中应该是比较复杂的。首先来看下比较简单的删除最大最小值得方法。以删除最小值为例，我们首先找到最小值，及最左边左子树为空的节点，然后返回其右子树作为新的左子树。操作示意图如下：

代码实现如下：

　　删除最大值也是类似。

　　现在来分析一般情况，假定我们要删除指定key的某一个节点。这个问题的难点在于：删除最大最小值的操作，删除的节点只有1个子节点或者没有子节点，这样比较简单。但是如果删除任意节点，就有可能出现删除的节点有0个，1 个，2个子节点的情况，现在来逐一分析。

　　当删除的节点没有子节点时，直接将该父节点指向该节点的link设置为null。

　　当删除的节点只有1个子节点时，将该自己点替换为要删除的节点即可。

　　当删除的节点有2个子节点时，问题就变复杂了。

　　假设我们删除的节点t具有两个子节点。因为t具有右子节点，所以我们需要找到其右子节点中的最小节点，替换t节点的位置。这里有四个步骤：

　　1. 保存带删除的节点到临时变量t

　　2. 将t的右节点的最小节点min(t.right)保存到临时节点x

　　3. 将x的右节点设置为deleteMin(t.right)，该右节点是删除后，所有比x.key最大的节点。

　　4. 将x的做节点设置为t的左节点。

　　整个过程如下图：

对应代码如下：

public void remove(T data) {	root = remove(data, root);}private BinaryNode
     
       remove(T data, BinaryNode
      
        node) {	if(node==null)		return node;	int compareRresult=data.compareTo(node.data);	if(compareRresult<0)		node.left=remove(data, node.left);	else if(compareRresult>0)		node.right=remove(data, node.right);	else if(node.left!=null&&node.right!=null){		node.data=findMin(node.right).data;		node.right=remove(node.data, node.right);	}else		node=(node.left!=null)?node.left:node.right;	return node;}

　　以上二叉查找树的删除节点的算法不是完美的，因为随着删除的进行，二叉树会变得不太平衡，下面是动画演示。